viernes, 26 de marzo de 2010

Regla de Tres Compuesta

Cuando existen más de dos tipos de magnitudes distintas, nos enfrentamos a un problema que se puede resolver mediante una regla de tres compuesta.
Lo que se debe hacer es descomponer en reglas de tres simples, considerando que pueden ser directa o inversamente proporcionales.
Método tradicional es plantear todas las reglas de tres simples a la vez.
Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, se distinguir tres casos de regla de tres compuesta:
1) Regla de tres compuesta directa
2) Regla de tres compuesta inversa
3) Regla de tres compuesta mixta

1) Regla de tres compuesta directa
Ejemplo: Cinco grifos abiertos durante 8 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 Bs. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 10 horas durante los mismos días.


Más grifos, mayor costo → Directa
Más horas, mayor costo → Directa


5grifos  →  8 horas  → 20Bs
15grifos →12 horas → X Bs

2)Regla de tres compuesta inversa.                                                    Ejemplo: Dos obreros trabajando, trabajando 9 horas diarias construyen un muro en 4 días. ¿Cuánto tardarán 5 obreros trabajando 6 horas diarias?







Más obreros, menos días → Inversa
Más horas, menos días    → Inversa

2 obreros →9 horas → 4 días
 5 obreros →6 horas → X días


3) Regla de tres compuesta mixta:    Ejemplo:  Para pavimentar 2 km de carretera, 50 trabajadores han empleado 20 días trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 100 trabajadores trabajando 10 horas al día en construir 6 km más de carretera?




Más trabajadores, menos días → Inversa
Más horas, menos días → Inversa
Más Kilometros, más  días→ Directa




Videos de ejemplos de regla de tres Compuesta

Video 1

Video 2

Aplicación de la regla de tres
La regla de tres es un  útil y sencillo mecanismo que sólo se puede establecer cuando existe una relación de linealidad entre los valores que pueden tomar las magnitudes que intervienen. A veces no se hace fácil averiguar si existe tal relación, para ello que se necesita utilizar sentido común y la experiencia adquirida con la práctica.

Para actividades interactivas de refuerzo has clic en los siguientes link

http://www.ematematicas.net/porcentajes.php?a=1&tp=4
http://www.ematematicas.net/porcentajes.php?a=1&tp=4&d=di
http://www.ematematicas.net/porcentajes.php?a=1&tp=4&d=ii
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jueves, 25 de marzo de 2010

Regla de tres Simple

La regla de tres sirve para resolver problemas de proporcionalidad conocer que magnitudes son proporcionales y el tipo de proporcionalidad que existe entre ellas.
Los problemas cuyas incógnitas y datos conocidos son directa o inversamente proporcionales, se resuelven con un método llamado regla de tres basado en las proporcionalidades.


Regla de tres simple Directa
Procedimiento utilizado para conocer una cantidad que forma proporción con otras tres cantidades conocidas de dos magnitudes directamente proporcionales.

 Regla de tres simple Inversa
 Procedimiento utilizado para conocer una cantidad que forma proporción con otras tres cantidades conocidas de dos magnitudes inversamente proporcionales.

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Proporcionalidad

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles.
Se llama proporción a la igualdad de dos razones

que se lee a es a b como c es a d

Ejemplo:En una feria de animales por 6 loros se canjean 3 docenas de codornices. ¿Cuántas codornices se necesitan para canjearlos por 5 loros?


Magnitudes proporcionales
Dos magnitudes son proporcionales, cuando su cociente o su producto se mantiene constante, si una de las dos magnitudes aumenta o disminuye, la otra magnitud también aumentará o disminuirá en la misma proporción.


Magnitudes Directamente Proporcionales
Si dos magnitudes son tales que a aumentar o disminuir la cantidad primera corresponde aumentar o disminuir la cantidad de la segunda en igual proporción, entonces se concluye que esas magnitudes son directamente proporcionales.

Ejemplo: Una caja de refrescos tiene 15 refrescos.

a) ¿Cuántos refresco hay si son 4 cajas?

b) Un cargamento de refrescos hay 45 refrescos ¿Cuántas cajas hay?

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 15
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 15.
 
a) En 4 cajas hay 60 refrescos
b) 45 refrescos hay en 3 cajas
Al aumentar el número de cajas aumenta  el número de refrescos.
Las magnitudes número de cajas y número de refrescos son directamente proporcionales.


Magnitudes Inversamente proporcionales
Si Dos magnitudes son tales que a aumentar o disminuir la cantidad primera corresponde disminuir o aumentar la cantidad de la segunda en igual proporción, entonces se concluye que esas magnitudes son inversamente proporcionales.

Ejemplo: Si 4 pintores tardan 9 días en pintar una casa. ¿cuánto tardarán 12 pintores en hacer el mismo trabajo?
X = número de días para 12 pintores

Al aumentar el número de pintores disminuye el número de días .
Las magnitudes número de dias y número de días son inversamente proporcionales.

Actividades interactivas

Has CLIC en los siguientes LINK
http://www.ematematicas.net/porcentajes.php?a=1
http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/09/01.htm
http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/09/02.htm
http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/09/03.htm
http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/anaya1/datos/09/04.htm
http://www.aplicaciones.info/decimales/propo01.htm
http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1171
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Proporción

Relación de correspondencia y equilibrio entre las partes y el todo, o entre varias cosas relacionadas entre sí, en cuanto a tamaño y cantidad.
El concepto de proporción está ampliamente difundido ya que es una medida intuitiva y de común uso.
Se han empleado diferentes sistemas de proporcionalidad tanto para la figura humana como los grandes monumentos arquitectónicos y obras de arte, también lo podemos ver en la naturaleza. La proporción matemática es lo que da armonía y belleza a cuanto nos rodea. La proporción induce a equilibrio.


Importancia de las proporciones para la arquitectura y el arte
En la Grecia antigua se tomaba en cuenta las proporciones para los diseños de los edificios emblemáticos de la ciudad.

El Pantenón
 
La proporción divina, o proporción áurea, en particular era la preferida. El número que la representaba era llamado el número de oro. En el diseño de una fachada rectangular como la de la figura.


El número de oro  (phi ɸ)
El número áureo o  phi (se pronuncia "número fi")   ha sido utilizado en las bellas artes como la arquitectura o la pintura y aparece también en las plantas, los animales y el universo.


La busqueda de la perfección
La figura más fascinantes del Renacimiento es Leonardo da Vinci. Para Leonardo da Vinci, la belleza no se aparta de su concepción científica de la naturaleza. En el arte occidental, la obra más famosa la pintura de Leonardo da Vinci del retrato de Lisa Gherardini, llamado Mona Lisa.
''Con una sola foto uno profundiza en la construcción de la pintura y comprende que Leonardo era un genio'', declaró Cotte en el debut


¿Dónde encontramos el número áureo?
El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos
Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco.
El número de oro es básico para el aprovechamiento de espcios en construcciones arquitectonicas


Para conocer algo más del número de oro y la proporción áurea
se recomienda las páginas:

http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm
http://simetria.dim.uchile.cl/matematico/nodo617.html


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sábado, 20 de marzo de 2010

Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo




Los Números Primos y los Números Compuestos
Los números primos son aquellos que tienen la propiedad de poseer únicamente dos divisores: el mismo número y el 1, que es divisor de todo número.

Los números compuestos son aquellos que tienen más de dos divisores. El número 1 no es primo porque no tiene dos divisores (sólo él mismo) y tampoco es compuesto.

El método de la Criba De Eratóstenes para encontrar los números primos.
los pasos que a continuación se presentan:
  1. El 1 no lo tachamos por no ser ni primo ni compuesto.
  2. El 2 posee solo dos divisores, por lo tanto es primo; entonces no lo tachamos.
  3. Luego tachamos todos los números pares, empezando por el 4 (teniendo presente que todos los pares a partir del 4 son compuestos porque tienen mas de dos divisores)
  4. Tachamos los números de 3 en 3, empezando en 6. (teniendo presente que todos los números de 3 en 3 después del 6 son compuestos porque tienen mas de dos divisores)
  5. Tachamos los números de 5 en 5, empezando por el 10. (teniendo presente que todos los números de 10 en 10 después del 10 son compuestos porque tienen mas de dos divisores
  6. Tachamos los números de 7 en 7 empezando por el 14. (teniendo presente que todos los números de 7 en 7 después del 14 son compuestos porque tienen mas de dos divisores)
IR al siguiente link de youtube: Ejemplo de aplicación de "El método de la Criba De Eratóstenes"
 http://www.youtube.com/watch?v=_6g_kItVUWI


Múltiplo de un Número
Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando multiplicamos ese número por los naturales.

Propidedes de los múltiplos

1) Todo número, distinto de cero, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

2) El cero es múltiplo de todos los números.

3) Si un número es múltiplo de otro, al dividirlo por ese número la división es exacta.

4) La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

5) Si a un número se le resta su múltiplo resulta  otro múltiplo de dicho número

6) Si un número es múltiplo de otro, y esté es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.

Divisor de un número
Un número es divisor de otro cuando la división es exacta.


Criterios de divisibilidad
Criterio de divisibilidad por 2 
Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.
Ejemplo: 20, 234, 1728.
Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.
Ejemplo: 645
6 + 4 + 5 = 15, 15 es múltiplo de 3 →→ es divisible entre 3 y la división da 215
Criterio de divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.
Criterio de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.
Criterio de divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.
Criterio de divisibilidad por 7  
Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.
Ejemplo: 343
34 - 2 • 3 = 28, es mútiplo de 7→→ es divisible entre 7 y la división da 49
Ejemplo: 105
10 - 5 • 2 = 0, es mútiplo de 7→→ es divisible entre 7 y la división da 15
Criterio de divisibilidad por 8
Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.
Criterio de divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.
Ejemplo: 72
7 + 2 = 9,es mútiplo de 9→→ es divisible entre 9 y la división da 8
Criterio de divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.
Criterio de divisibilidad por 11 
Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.
Ejemplo: 121
(1 + 1) - 2 = 0, es mútiplo de 11→→ es divisible entre 11 y la división da 11
Ejemplo: 4224
 (4 + 2) - (2 + 4) = 0, es mútiplo de 11→→ es divisible entre 11 y la división da 384
Criterio de divisibilidad por 25 
Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.
Criterio de divisibilidad por 125
Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.

Descomposición factorial
"La factorización de un número consiste en expresarlo como un producto de factores primos. Se descompone en sus factores primos"
Para factorial un número dividimos por cada uno de los números primos (2, 3, 5, ..) y nos quedamos con el cociente, el cual lo volvemos a dividir por el mismo primo mientras podamos (cuando no sea divisible, pasamos al siguiente primo).

Máximo común divisor y Mínimo Común Múltiplo
  • El máximo común divisor (M.C.D.) de dos números es el mayor de los divisores comunes a ambos números.
Para calcular el M.C.D. de dos o más números, se multiplican los factores primos comunes a ambos elevados a los menores exponentes.


Pasos para calcular M.C.D.
1. Descomponemos los números en factores primos
2. Seleccionamos los factores comunes a ambos números con los menores exponentes
3. Multiplicamos los factores seleccionados

  • El mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos números o más números, es el mínimo de los múltiplos comunes a ambos números.
Para calcular el m.c.m de dos o más números, se multiplican los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

Pasos para calcular m.c.m.
1. Descomponemos los números en factores primos
2. Seleccionamos los factores comunes y no comunes con los mayores exponentes
3. Multiplicamos los factores seleccionados.

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viernes, 12 de marzo de 2010

Fracción generatriz

Los números decimales

Los decimales son una forma de escribir números fraccionarios, sin escribir una fracción teniendo un numerador y un denominador.


La fracción 5/10 se podría escribir en forma decimal como 0,5
La coma decimal indica que este es un decimal.
El decimal 0,5 se podría decir como cinco décimos o como cero coma cinco.




Concepto de números decimal

Hacer clic en el siguiente link


Los números decimales son aquello que poseen una parte entera y una parte decimal separado por una coma.


Tipos de números decimales

Ejemplo de decimal exacto 
0,342 → Parte decimal limitada. Decimal exacto.

Ejemplo de decimal No exacto
5,2323... → Parte decimal ilimitada. Decimal no exacto. Se repite la cifra

π=3,1415926... → Parte decimal ilimitada. Decimal no exacto. No se repiten cifras..




Ejemplo de decimal No exacto. Periódico Puro

Ejemplo de decimal No exacto. Periódico Mixto

 Fracción Generatriz
Fracción generatriz: Es aquella fracción que genera al número decimal ósea la fracción irreducible que representa a un número decimal
Los números decimales exactos y periódicos puros y mixtos se pueden expresar en forma de fracción, hallando su fracción generatriz

 Pasar de decimal a fracción generatriz

  • De decimal Exacto  a fracción generatriz. (Decimales finitos)

Numerador: debe tomarse el número completo sin la coma.
Denominador: el número 1 seguido de tantos ceros como decimales posea el número
Luego si es simplificable, se simplifica para obtener la mínima expresión de la fracción así como en el ejemplo b que se da a continuación
Ejemplo



  • De decimal NO exacto a fracción generatriz.

1) Decimales periódicos
Numerador: debe tomarse como número entero, ignorando la coma, restándole la parte no-periódica
Denominador: corresponde a tantos 9 como posea el periodo

 Ejemplo



2) Decimales Semiperiódicos:
Numerador : debe tomarse como número entero, ignorando la coma, restándole la parte no-periódica
Denominador: tantos 9 como cifras del periodo, seguido de tantos ceros como cifras del antiperiodo.
Debe tomarse la parte decimal y restarle la parte finita del número y luego dividir el resultado por tantos 9 como dígitos posea el periodo, seguido de tantos ceros como dígitos posea la parte finita.

Ejemplo





Los números Irraccionales
Los números irracionales son números decimales con un número ilimitado de cifras decimales no periódicas que no se pueden expresar en forma de fracción.
Los números irracionales más utilizados en Matemáticas son:


  • π (se lee pi), π =3,14159265358979...
Es la relación entre la  longitud  L de la circunferencia y su  diámetro D

Para los cálculos con el número π se hace tomando un redondeo del mismo. 3,14


  • El número de Euler e = 2,7182818284...
En Economía, para predecir lo que genera un modelo económico
En Biología, para explicar el crecimiento de poblaciones y en la datación de fósiles.
Sanidad, para estudiar y evaluar enfermedades epidémicas. 



  •  El número áureo Φ (se lee fi), Φ =1,6180339887...
El número de Oro

Este número era utilizado por los griegos en las proporciones de sus construcciones.  Y hoy día Se sigue utilizando en la concepción y diseño de cantidades  de objetos, elementos arquitectónicos y artísticos.



  •  Las raices inexactas como la √2=1,414213562….., entre otros.

"El conjunto de los Irraccionales, a diferencia del conjunto de los raccionales, no se pueden expresar mediante fracciones"
"La unión del conjunto de los raccionales con los irraccionales comforman el conjunto de todos los reales"


Reglas de Aproximación

Para aproximar números decimales, debemos tener en cuenta el primer dígito que se descarta:
• Si es igual o mayor que 5, se aumenta en una unidad el dígito anterior
• Si es menor que 5 se deja el dígito anterior




Hacer clic en los siguientes link para ejercicios interactivos



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sábado, 6 de marzo de 2010

Las Fracciones



Número fraccionario o quebrado
Se conoce como fracción, el quebrado o número fraccionario es el que expresa 1 o más partes iguales de la unidad.

Términos de una fracción:
      
Según las divide la unidad, se le va dando nombre. Ejemplo si está dividida en 2 se le llama medios, en 3 tercios, 4 cuartos, 5 quintos, 6 sextos, 7 séptimos, 8 octavos, 9 novenos, 10 décimos, y así sucesivamente. En caso que el numerador sea mayor que 10, se le añade al número la terminación avo. Con esa regla, podríamos decir que 11 se lee onceavo, 12 doceavo, 13 treceavo,
En el ejemplo tenemos (5/8) cinco octavos.


Tipos de fracciones

Fracción propia: es aquella que numerador es manor que el denominador y su cociente es menor a la unidad.
 

Fracción inpropia: es aquella que numerador es mayor que el denominador y su cociente es meyor a la unidad.

Fracción aparente o fracción unidad: es aquella que numerador es igual al denominador y su cociente es igual  a la unidad.
 

Fracción decimal: es aquella que el denominador es 10 o múltiplo de 10. 
 

Fracción Mixta: es aquella que expresa a la fracción inpropia  con  un número entero y una fracción propia.
 
"Toda fracción mixta contiene un número exacto de unidades y además una o varias partes iguales a la unidad".

Convertir una fracción mixta en fracción impropia

Se multiplica el entero por el denominador y el producto se le suma al numerador. El denominador es el mismo. Por ejemplo:

 

Convertir una fracción impropia en fracción mixta 

Se divide el numerador entre el denominador, el cociente que de sérá la parte entera de la fracción mixta y el resto el numerador de la fracción propia dejando el denominador igual.Por ejemplo:


Reducir un número entero a fracción

Una forma es,  ponerle al número un  denominador igual a 1. Por ejemplo: 17 = 17/1

Otra forma es para cuando se nos da un denominador específico, lo que se hace es multiplicar ese número por el denominador dado, de ese modo sacamos el numerador. El denominador es el que nos dieron. Por ejemplo:
Número entero = 16 y el Denominador dado = 3
16 x 3 = 48
Fracción = 48 / 3

Amplificación de una fracción

Amplificar una fracción es multiplicar por un mismo número, numerador y denominador de una fracción, resulta posee un numerador y denominador distinto número a la de l a la fracción original, pero el valor de ambas fracciones es el mismo.

Simplificación de fracciones

Simplificar una fracción es dividir por un mismo número, numerador y denominador de una fracción, resulta posee un numerador y denominador distinto número a la de l a la fracción original, pero el valor de ambas fracciones es el mismo.


Para simplificar hay que tener muy presentes los criterios de divisibilidad.
Daremos algunos....
Un número es divisible:
Por 2: Cuando su último dígito es 0 ó par.
Por 3: Cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplo 372 es divisible por 3 ya que 3 + 7 + 2 = 12 y el 12 es divisible por 3.
Por 4: Cuando los dos últimos dígitos del número son 0 o un múltiplo de 4. Ejemplo: 436;300
Por 5: Cuando el último dígito del número es 0 ó 5.

Fracción irreducible

Es la fracción que no se puede reducir más utilizando factores primos. Ocurre cuando el numerador y el denominador son primos entre sí.
Cuando una fracción es irreducible se dice que está en su más simple expresión o a su mínima expresión. Por ejemplo: 5 / 7, 11 / 3
"La fracción irreducible elevada a una potencia, la fracción que resulta es también irreducible"

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si:


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