Los Números Naturales (N)

Los números naturales surge en el comienzo de las distintas civilizaciones, por La necesidad del hombre de contar y de ordenar.

Los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 6º (sexto),…

Las operaciones que se pueden realizar son:

• Suma y resta es una operación que se deriva de la operación de contar

• La Multiplicación es la suma sucesiva del mismo número.

• La división es la operación de repartir.

Estas operaciones pueden ser internas y no internas

Las internas: Operaciones que siempre da un número natural. Adición y multiplicación.

Las No internas: Operaciones que no siempre dan un número natural. La sustracción y la división

Con el número natural, se designa la cantidad de elementos que tiene un conjunto, llamándolo cardinal del conjunto.

El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 145,146….}

Si al conjunto se le excluye el 0 designa por N*:

N* = {1, 2, 3, 4,…, 145,146….}

El conjunto de los números naturales es infinito y es el conjunto de los números más elemental.

Propiedades de la adición de Números Naturales

1.- Asociativa:Siendo a, b, c números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo:

(6 + 4) + 8 = 10 + 8 = 18

6 + (4 + 8) = 6 + 12 = 16

es decir,

(6 + 4) + 8 = 6 + (4 + 8)

2.-Conmutativa: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

Ejemplo:
6 + 3 = 9
3 + 6 = 9
En particular, para los números 6 y 3, se verifica que:

6 + 3 = 3 + 6

3.- Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales

La sustracción, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

Ejemplo:

Si tenemos 6 caramelos y los niños se comen 2 ¿cuántos caramelos quedan? 

Se pueden contar los caramelos o podemos decir que 6 - 2 = 4.

La resta consta de minuendo (los caramelos iniciales) y sustraendo (los caramelos que se comieron los niños).

No es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). El resultado de la operación pertenecería al conjunto de los enteros Z.

Propiedad de la resta:

La resta no es conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

1.-Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a • b) • c = a • (b • c)

Ejemplo:
(4 • 3) • 6 = 12 • 6 = 72
4 • (3 • 6) = 4 • 18 = 72
es decir,

(4 • 3) • 6 = 4 • (3 • 6)

2.- Conmutativa: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a • b = b • a

Ejemplo:
2 • 4 = 4 • 2 = 8

3.-Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a • 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma: Sea a, b, c números naturales cualesquiera se cumple que:

a • (b + c) = a • b + a • c

Ejemplo:
3 • (4 + 5) = 3 • 20 = 60
3 • 4 + 3 . 5 = 12 + 30 = 60
es decir,

3 • (4 + 5) = 3 • 4 + 3 . 5

Propiedades de la División de Números Naturales

La división, no es una operación interna en N. Los términos de la división se llaman dividendo (lo que se divide), divisor (en cuento se divide), cociente (el numero al que queda dividido) y resto (lo que sobra).

La división se llama exacta si el resto es cero, su cociente da un número natural N y en caso contrario inexacta, el resultado estás dentro del conjunto Q.

Propiedad de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

Resumen en el video

Actividad interactiva haz clic en el siguiente link (autoevaluación)

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Naturales
• Orden
• Suma
• Resta
• Producto
• Cociente
• Operaciones combinadas