Aritmética: Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo

Los Números Primos y los Números Compuestos

Los números primos son aquellos que tienen la propiedad de poseer únicamente dos divisores: el mismo número y el 1, que es divisor de todo número.

Los números compuestos son aquellos que tienen más de dos divisores. El número 1 no es primo porque no tiene dos divisores (sólo él mismo) y tampoco es compuesto.

El método de la Criba De Eratóstenes para encontrar los números primos.
los pasos que a continuación se presentan:

El 1 no lo tachamos por no ser ni primo ni compuesto.
El 2 posee solo dos divisores, por lo tanto es primo; entonces no lo tachamos.
Luego tachamos todos los números pares, empezando por el 4 (teniendo presente que todos los pares a partir del 4 son compuestos porque tienen mas de dos divisores)
Tachamos los números de 3 en 3, empezando en 6. (teniendo presente que todos los números de 3 en 3 después del 6 son compuestos porque tienen mas de dos divisores)
Tachamos los números de 5 en 5, empezando por el 10. (teniendo presente que todos los números de 10 en 10 después del 10 son compuestos porque tienen mas de dos divisores
Tachamos los números de 7 en 7 empezando por el 14. (teniendo presente que todos los números de 7 en 7 después del 14 son compuestos porque tienen mas de dos divisores)

IR al siguiente link de youtube: Ejemplo de aplicación de "El método de la Criba De Eratóstenes"
http://www.youtube.com/watch?v=_6g_kItVUWI

Múltiplo de un Número

Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando multiplicamos ese número por los naturales.

Propidedes de los múltiplos

1) Todo número, distinto de cero, es múltiplo de sí mismo y de la unidad.

2) El cero es múltiplo de todos los números.

3) Si un número es múltiplo de otro, al dividirlo por ese número la división es exacta.

4) La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

5) Si a un número se le resta su múltiplo resulta otro múltiplo de dicho número

6) Si un número es múltiplo de otro, y esté es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.

Divisor de un número

Un número es divisor de otro cuando la división es exacta.

Criterios de divisibilidad

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

Ejemplo: 20, 234, 1728.

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.

Ejemplo: 645

6 + 4 + 5 = 15, 15 es múltiplo de 3 →→ es divisible entre 3 y la división da 215

Criterio de divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

Criterio de divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

Criterio de divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

Criterio de divisibilidad por 7

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.

Ejemplo: 343

34 - 2 • 3 = 28, es mútiplo de 7→→ es divisible entre 7 y la división da 49
Ejemplo: 105
10 - 5 • 2 = 0, es mútiplo de 7→→ es divisible entre 7 y la división da 15

Criterio de divisibilidad por 8
Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

Criterio de divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.

Ejemplo: 72

7 + 2 = 9,es mútiplo de 9→→ es divisible entre 9 y la división da 8

Criterio de divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.

Criterio de divisibilidad por 11

Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.

Ejemplo: 121

(1 + 1) - 2 = 0, es mútiplo de 11→→ es divisible entre 11 y la división da 11

Ejemplo: 4224

(4 + 2) - (2 + 4) = 0, es mútiplo de 11→→ es divisible entre 11 y la división da 384

Criterio de divisibilidad por 25

Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 25.

Criterio de divisibilidad por 125

Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 125.

Descomposición factorial

"La factorización de un número consiste en expresarlo como un producto de factores primos. Se descompone en sus factores primos"

Para factorial un número dividimos por cada uno de los números primos (2, 3, 5, ..) y nos quedamos con el cociente, el cual lo volvemos a dividir por el mismo primo mientras podamos (cuando no sea divisible, pasamos al siguiente primo).

Máximo común divisor y Mínimo Común Múltiplo

El máximo común divisor (M.C.D.) de dos números es el mayor de los divisores comunes a ambos números.

Para calcular el M.C.D. de dos o más números, se multiplican los factores primos comunes a ambos elevados a los menores exponentes.

Pasos para calcular M.C.D.

1. Descomponemos los números en factores primos
2. Seleccionamos los factores comunes a ambos números con los menores exponentes
3. Multiplicamos los factores seleccionados

El mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos números o más números, es el mínimo de los múltiplos comunes a ambos números.

Para calcular el m.c.m de dos o más números, se multiplican los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

Pasos para calcular m.c.m.

1. Descomponemos los números en factores primos
2. Seleccionamos los factores comunes y no comunes con los mayores exponentes
3. Multiplicamos los factores seleccionados.